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倍洽

Python算法:如何解决楼梯台阶问题

本文由码农网 – 小峰原创翻译,转载请看清文末的转载要求,欢迎参与我们的付费投稿计划

让我们考虑以下问题。

有一个有N个台阶的楼梯,你一次可以爬1或2个台阶。

给定N,编写一个函数,返回爬完楼梯的方式数量。步骤的顺序很重要。

例如,如果N是4,那么有5种方式:

  • 1,1,1,1
  • 2,1,1
  • 1,2,1
  • 1,1,2
  • 2,2

如果规定的不是一次只能爬1或2步,而是可以使用正整数X集合内的任意数字爬楼梯,那会怎么样?例如,如果X = {1,3,5},则表示一次爬升1,3或5阶楼梯。

解决方案

从一些测试案例开始总是好的做法。让我们从小的案例开始,看看能否找到某种规律。

  • N = 1,1种爬楼方式:[1]
  • N = 2,2种爬楼方式:[1,1],[2]
  • N = 3,3种爬楼方式:[1,2],[1,1,1],[2,1]
  • N = 4,5种爬楼方式:[1,1,2],[2,2],[1,2,1],[1,1,1,1],[2,1,1]

你有没有注意到什么?请看N = 3时,爬完3阶楼梯的方法数量是3,基于N = 1和N = 2。存在什么关系?

爬完N = 3的两种方法是首先达到N = 1,然后再往上爬2步,或达到N = 2再向上爬1步。所以 f(3) = f(2) + f(1)。

这对N = 4是否成立呢?是的,这也是成立的。因为我们只能在达到第三个台阶然后再爬一步,或者在到了第二个台阶之后再爬两步这两种方式爬完4个台阶。所以f(4) = f(3) + f(2)。

所以关系如下: f(n) = f(n – 1) + f(n – 2),且f(1) = 1和f(2) = 2。这就是斐波那契数列。

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return 1
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

当然,这很慢(O(2^N))——我们要做很多重复的计算!通过迭代计算,我们可以更快:

def fibonacci(n):
    a, b = 1, 2
    for _ in range(n - 1):
        a, b = b, a + b
    return a

现在,让我们尝试概括我们学到的东西,看看是否可以应用到从集合X中取步数这个要求下的爬楼梯。类似的推理告诉我们,如果X = {1,3,5},那么我们的算法应该是f(n) = f(n – 1) + f(n – 3) + f(n – 5)。如果n <0,那么我们应该返回0,因为我们不能爬负数。

def staircase(n, X):
    if n < 0:
        return 0
    elif n == 0:
        return 1
    elif n in X:
        return 1 + sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)
    else:
        return sum(staircase(n - x, X) for x in X if x < n)

这也很慢(O(|X|^N)),因为也重复计算了。我们可以使用动态编程来加快速度。

每次的输入cache[i]将包含我们可以用集合X到达台阶i的方法的数量。然后,我们将使用与之前相同的递归从零开始构建数组:

def staircase(n, X):
    cache = [0 for _ in range(n + 1)]
    cache[0] = 1
    for i in range(n + 1):
        cache[i] += sum(cache[i - x] for x in X if i - x > 0)
        cache[i] += 1 if i in X else 0
    return cache[-1]

现在时间复杂度为O(N * |X|),空间复杂度为O(N)。

欢迎继续探索其他有趣的编程问题。

译文链接:/article/python-staircase-problem.html
英文原文:How to Solve the Staircase Problem
翻译作者:码农网 – 小峰
转载必须在正文中标注并保留原文链接、译文链接和译者等信息。]

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